Найдите корни уравнения принадлежащие данному промежутку
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2024 г. – задание №13. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
a) Запишем исходное уравнение в виде:
Значит, sinx = 0, откуда x = πk , k ∈ Ζ, или , откуда
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
Ответ: а)
б)
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2017, 2018 г. – задание №13. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку.
а) Решите уравнение cos2x=1-cos( -x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение:
Преобразуем обе части уравнения:
1− 2sin 2 x =1− sin x ; 2sin 2 x − sin x = 0 ; sin x( 2sin x −1) = 0 ,
откуда sin x = 0 или sin x = .
Из уравнения sin x = 0 находим: x = πn , где n∈Ζ.
Из уравнения sin x = находим: , где k∈Ζ.
б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку
Ответ: а) , k∈Ζ.
б) .
Досрочный вариант ЕГЭ по математике 2017 профильный уровень задание №13.
а) Решите уравнение
8 x − 9⋅ 2 x +1 + 2 5−x = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log5 2; log5 20].
Решение:
Умножим обе части на t:
Ответ: a)
Ответ: б)
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Преобразуем уравнение:
Ответ: a)
б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку
Ответ: б)
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Преобразуем уравнение:
Пусть 2 x = t, тогда уравнение приметвид:
Ответ: а) 5;2+log29
5 не принадлежит
log235 Ответ: б) 2+log29
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Преобразуем уравнение:
x1=-1 (не подходит по ОДЗ) ; x2=2 (подходит по ОДЗ) ; x3=-3 (подходит по ОДЗ)
Ответ: 2;-3
3) x 3 -2x 2 -5x-5>0
-3 -1 = -log34 не принадлежит
-1 Ответ: 2
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку [2; 3].
Содержание
- Как решать задание 13
- О чем задача?
- Как решать?
- Найдите корни уравнений, принадлежащие данному промежутку.
- Другие вопросы из категории
- Читайте также
- Тригонометрические уравнения. для подготовки к ЕГЭ по математике на 100 баллов!
- Необходимый минимум для того, чтобы решать тригонометрические уравнения
- Решение тригонометрический уравнений
- Таблица тригонометрических формул
- 11 примеров решения простейших тригонометрических уравнений — прочитай их и ты решишь любое такое уравнение (+ на ЕГЭ!)
- 3 более сложные триногометрические задачи для закрепления материала
- 3.
- Домашняя работа или 3 задачи для самостоятельного решения.
- СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
- Четыре категории задач С1
- Уравнения, сводящиеся к разложению на множители
- Уравнения вида: , — числа
- Уравнения, сводящиеся к виду
- Решение тригонометрических уравнений заменой переменной
- ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ
- Тренировка
- КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
- P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂
Как решать задание 13
О чем задача?
Задачи на решение тригонометрических уравнений, более сложных, чем в задании 5. В большинстве задач требуется не только решить уравнение, но и отобрать корни, принадлежащие определенному отрезку.
Как решать?
Шаг 1. Найдите область определения
Шаг 2. Приведите уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений
Для того чтобы привести уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений, применяйте следующие стандартные приемы:
Мы свели исходное уравнение к совокупности простейших тригонометрических уравнений [ cos x = − 1 , cos x = − 1 2 . left[begin
Шаг 3. Решите простейшие тригонометрические уравнения
О решении простейших тригонометрических уравнений читайте в отдельной статье .
Убедитесь, что найденные вами корни принадлежат области определения уравнения.
Остается решить уравнение cos x = − 1 2 cos x =-frac<1> <2>cos x = − 2 1 .
Шаг 4. Выберите корни, принадлежащие отрезку, данному в условии
Корни, принадлежащие данному в условии отрезку, можно найти либо методом перебора, либо путем решения неравенства относительно k k k .
Найдем подходящие корни методом перебора. Для этого рассмотрим две серии корней по отдельности.
Найдите корни уравнений, принадлежащие данному промежутку.
a)решение:φ=2πn,n∈Z n=0,φ=2π*0=0 n=1,φ=2π n=2,φ=2π*2=4π
Другие вопросы из категории
5 кмч. На станцию они пришли одновременно.Чему равно расстояние от турбазы до станции?
Читайте также
-2 -3=0$
2) Сколько корней имеет уравнение:
-6 +9=0;
3) Найдите сумму корней биквадратного уравнения:
4 -12 +1=0;
4) При каких значениях c не имеет корней уравнение:
-12 +c=0;
5) Разложите на множители трёхчлен
-20 +64.
6) Решите уравнение:
/
7) Является ли число корнем биквадратного уравнения
-6 +3=0;
Пожалуйста решите, очень сильно нужно.
Sin x/2=0 , [-12;18]
Найдите корни уравнения на заданном промежутке
cos(4x+π/4)=-корень из 2/2
4x+π/4=±(π-π/4)+2πn,n∈ℤ
4x=±3π/4-π/4+2πn,n∈ℤ
x=±3π/16-π/16+πn2,n∈ℤ
Тригонометрические уравнения. для подготовки к ЕГЭ по математике на 100 баллов!
Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Привет самый умный и самый лучший ученик во вселенной!
Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические.
И станем на шаг ближе к заветной цели — сдать ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!
Чтобы освоить тему мы с тобой решим 11 простейших тригонометрических уравнений, 3 чуть более сложных и ты сам решишь еще 3 самостоятельно.
И этого будет достаточно чтобы добавить до 5 баллов из 30 на ЕГЭ!
Услышал новое слово? И, дай догадаюсь, это новое слово «тригонометрические»?
Ну, не беда! Если ты не знаком с этим понятием, повтори следующие разделы и ты будешь знать про них все что нужно!
Ну что, всё усвоил? 🙂
Ну да ладно, совсем всё и не потребуется, мне важно лишь, чтобы ты знал.
Необходимый минимум для того, чтобы решать тригонометрические уравнения
— что такое синус, косинус, тангенс, котангенс.
— какие знаки принимает та или иная тригонометрическая функция в разных четвертях тригонометрической окружности,
— какие из этих функций нечётные, а какая – чётная,
— также совершенно необходимо знание значений тригонометрических функций в основных углах 1 четверти.
Ну да, правила арифметики (как складывать, умножать, делить и вычитать дроби и числа) тоже никто не отменял.
Этого будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придётся вспомнить что-нибудь ещё, не упомянутое здесь.
Решение тригонометрический уравнений
Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение
Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции в нём и в помине нет!
А что насчёт вот такого уравнения?
и опять ответ отрицательный!
Это так называемое уравнение смешанного типа: оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную ( ). Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих статьях по данной тематике. Но вернёмся к вопросу:
Что же такое тригонометрические уравнения?
Тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!
Однако в данной статье мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:
Где – некоторое постоянное число. Например: и т. д.
– некоторая функция, зависящая от искомой переменной , например и т. д.
Такие уравнения называются простейшими!
И основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!!
Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе «Формулы тригонометрии»
Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров.
Более того, простейшие тригонометрические уравнения могут встретиться ДО ЧЕТЫРЕХ РАЗ в заданиях ЕГЭ:
это может быть задача B5 (простейшее тригонометрическое уравнение – встречается время от времени),
- B14 (в конечном счёте сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения – ОЧЕНЬ ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ В ЕГЭ),
- B12 (задача с прикладным содержанием, которая включает в себя решение тригонометрического уравнения – встречается изредка),
- С1 (решение тригонометрического уравнения средней сложности – ОЧЕНЬ ЧАСТО, ПРАКТИЧЕСКИ ВСЕГДА!).
Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 БАЛЛОВ ЕГЭ из 30!
Два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу. Мы будем решать через формулы.
В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы. Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.
Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:
- ,
- ,
- ,
- .
Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:
имеют смысл только тогда, когда
имеют смысл уже при всех значениях .
То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:
Корней не имеют.
Потому что они «не попадают» в промежуток от минус единицы до плюс единицы.
Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок.
Для остальных же случаев тригонометрические формулы такие как в этой таблице.
Таблица тригонометрических формул
На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно.
Тебе нужно лишь запомнить первые два её столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений.
Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.
Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов?
У меня бы возникли вот какие:
Что такое и что такое, например ?
Отвечаю на все по порядку:
– Это любое целое число .
В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал?
ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ. И число и служит для обозначения этой «бесконечности».
Конечно, вместо можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе: – что означает, что – есть любое целое число.
Теперь насчёт арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем, надо как «угол, синус которого равен )
- – угол, синус которого равен
- – угол, косинус которого равен
- – угол, тангенс которого равен
- – угол, котангенс которого равен
То есть алгоритм вычисления арксинусов и других «арок» такой:
- Первое — смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число.
- Второе – смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса…
- Третье – смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус или косинус или… равен числу, стоящему под аркой.
- Четвёртое – записываем ответ.
Вот простой пример вычисления аркосинуса:
- Под аркой число
- Арка для функции косинус!
- Косинус какого угла равен ?
- Угла (или градусов!)
- Тогда
Ответы: и .
Всё ли я сказал про «арки»? Почти что да! Остался вот какой момент.
Что делать, если «арка» берётся от отрицательного числа?
Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:
И внимание.
Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной.
Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую.
В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.
Ну всё, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!
11 примеров решения простейших тригонометрических уравнений — прочитай их и ты решишь любое такое уравнение (+ на ЕГЭ!)
Ну что, давай решать вместе!
1.
Запишу по определению:
2.
Снова по определению: Тогда запишу
Пример-ловушка! Невнимательный ученик бы записал ответ в лоб:
Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох?
А подвох вот в чем:
4.
По определению:
И снова по определению (теперь для уравнения другого вида)
Прежде всего вынесем «минус» по правилам для арккосинуса:
Ещё один пример-обманка! Хотя данное уравнение решения имеет, ибо:
Тогда по определению:
8.
9.
11.
3 более сложные триногометрические задачи для закрепления материала
- Найдите корни уравнения: .
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - Найдите корни уравнения: .
В ответ запишите наибольший отрицательный корень. - Решите уравнение .
В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решение:
Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!
Если бы мы решали уравнение вида:
То мы бы записали вот такой ответ:
Но теперь в роли у нас выступаем вот такое выражение:
Тогда можно записать:
Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто , без всяких «примесей»!
Давай постепенно от них избавляться!
Вначале уберём знаменатель при : для этого домножим наше равенство на :
2.
Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:
3.
Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса.
Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли?
Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачи.
Домашняя работа или 3 задачи для самостоятельного решения.
- Решите уравнение .
В ответе напишите наименьший положительный корень. - Решите уравнение .
В ответе напишите наименьший положительный корень. - Решите уравнение .
В ответе напишите наименьший положительный корень.
Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.
Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды!
Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения!
Сверься с ответами:
Наименьший положительный корень получится, если положить , так как , то
Ответ:
Наименьший положительный корень получится при .
Ответ: .
При получаем , при имеем .
Ответ: .
Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене.
Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений (задание С1).
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
В этой статье я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа и как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:
Рекомендую тебе прежде ознакомиться с содержанием этих двух статей, прежде чем приступать к чтению и разбору этого чтиво. Итак, все готово? Прекрасно. Тогда вперед. Более сложные тригонометрические уравнения – это основа задач С1. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.
Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:
- Решение уравнения
- Отбор корней
Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать – это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.
Мой опыт разбора задач С1 показывает, что они как правило делятся на вот такие категории.
Четыре категории задач С1
- Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
- Уравнения, сводящиеся к виду .
- Уравнения, решаемые заменой переменной.
- Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.
Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов , то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку.
Если же тебе попалось уравнение 4 типа , то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни. Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в следующей статье, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.
Уравнения, сводящиеся к разложению на множители
Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа это
Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам:
Пример 1. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения и синуса двойного угла
- Решите уравнение
- Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:
Тогда мое уравнение примет вот такой вид:
Что дальше? А дальше обещанный мною второй пункт программы – синус двойного угла:
Тогда мое уравнение примет следующую форму:
Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на , получаю простейшее уравнение и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!
ЗАПОМНИ: НИКОГДА НЕЛЬЗЯ СОКРАЩАТЬ ОБЕ ЧАСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА ФУНКЦИЮ, СОДЕРЖАЩУЮ НЕИЗВЕСТНУЮ! ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТЫ ТЕРЯЕШЬ КОРНИ! |
Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:
Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:
Первое уравнение имеет корни:
На этом первая часть задачи решена. Теперь нужно отобрать корни:
Промежуток вот такой:
Или его еще можно записать вот так:
Ну что, давай отбирать корни:
Вначале поработаем с первой серией (да и проще она, что уж говорить!)
Так как наш промежуток – целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные , все равно они дадут неотрицательные корни.
Возьмем , тогда – многовато, не попадает.
Пусть , тогда – снова не попал.
Еще одна попытка — , тогда – есть, попал! Первый корень найден!
Стреляю еще раз: , тогда – еще раз попал!
Ну и еще разок: : — это уже перелет.
Так что из первой серии промежутку принадлежат 2 корня: .
Работаем со второй серией (возводим в степень по правилу):
Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни:
Вот по такому алгоритму мы и будем решать все другие примеры. Давай вместе потренируемся еще на одном примере.
Пример 2. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения
- Решите уравнение
- Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Опять пресловутые формулы приведения:
Опять не вздумай сокращать!
Первое уравнение имеет корни:
Теперь снова поиск корней.
Начну со второй серии, мне про нее уже все известно из предыдущего примера! Посмотри и убедись, что корни, принадлежащие промежутку следующие:
Теперь первая серия и она попроще:
Если – тоже годится
Если – уже перелет.
Тогда корни будут следующие:
Самостоятельная работа. 3 уравнения.
Ну что, техника тебе ясна? Решение тригонометрических уравнений уже не кажется таким сложным? Тогда быстренько прорешай следующие задачки самостоятельно, а потом мы с тобой будем решать другие примеры:
- Решите уравнение
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку . - Решите уравнение
Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку - Решите уравнение
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
Уравнение 1. Проверка самостоятельной работы.
И снова формула приведения:
Первая серия корней:
Вторая серия корней:
Начинаем отбор для промежутка
Уравнение 2. Проверка самостоятельной работы.
Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла):
Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса – вот такая досада!
Что я могу сделать, так это прикинуть, что так как , то frac
Составим таблицу: промежуток:
— недолет | Для : — недолет Для : — попал |
— пока еще недолет | Для : — перелет Для : — перелет |
— еще недолет | Перелет! |
— уже перелет |
Ну что же, путем мучительных поисков мы пришли к неутешительному выводу о том, что наше уравнение имеет один корень на указанном промежутке: displaystyle arccosfrac<1><4>-5pi
Уравнение 3. Проверка самостоятельной работы.
Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла:
Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители:
Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе:
Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать.
Уравнения вида: , — числа
Данное уравнение решается делением обеих частей на :
Таким образом, наше уравнение имеет единственную серию корней:
Нужно найти те из них, которые принадлежат промежутку: .
Опять построим табличку, как я делал и ранее:
— попал! |
— перелет! |
Уравнения, сводящиеся к виду
Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа. Но не лишним будет повторить, что уравнение вида
Решается делением обеих частей на косинус:
Таким образом, решить уравнение вида
Все равно, что решить
Мы только что рассмотрели, как это происходит на практике. Однако давай решим еще и вот такие примеры:
- Решите уравнение
Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку . - Решите уравнение
Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку .
Первое – ну совсем простое. Перенесем вправо и применим формулу косинуса двойного угла:
Ага! Уравнение вида: . Делю обе части на
Делаем отсев корней:
— попал |
— попал |
— перелет! |
Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа:
Основное тригонометрическое тождество:
Синус двойного угла:
Отсев корней: промежуток .
— попал |
— попал |
— перелет! |
Ну как тебе техника, не слишком сложна? Я надеюсь, что нет. Сразу можно оговориться: в чистом виде уравнения, которые тут же сводятся к уравнению относительно тангенса, встречаются довольно редко. Как правило, этот переход (деление на косинус) является лишь частью более сложной задачи. Вот тебе пример , чтобы ты мог поупражняться:
- Решите уравнение
- Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на :
— маленький недолет на |
— попал! |
— снова в яблочко! |
— и снова удача на нашей стороне! |
— на сей раз уже перелет! |
Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак:
Решение тригонометрических уравнений заменой переменной
Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену! На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле:
- Решить уравнение: .
- Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки!
Тогда наше уравнение превратится вот в такое:
Первое уравнение имеет корни:
А второе вот такие:
Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку
Для : — подходит! Для : — выскочил за интервал |
Для : — подходит! Для : — снова выскочил за интервал! |
Выскочил за интервал | Выскочил за интервал |
Давай вместе разберем чуть более сложный пример :
- Решите уравнение
- Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку .
Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать?
Можем, например, представить
Тогда мое уравнение примет вид:
А теперь внимание, фокус:
Давай разделим обе части уравнения на :
Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно ! Сделаем замену , тогда получим:
Уравнение имеет следующие корни:
Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь! Производим отбор корней на промежутке .
Нам также нужно учитывать, что
— маловато | — маловато |
— подойдет | — подойдет |
2,5pi «> — перебор | — перебор |
Для закрепления, прежде чем ты сам будешь решать задачи, вот тебе еще упражнение :
- Решите уравнение
- Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням!
Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус:
Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству:
И, наконец, приведу все к общему знаменателю:
Теперь я могу перейти к уравнению:
Но при (то есть при ).
Теперь все готово для замены:
Однако обрати внимание, что если , то при этом !
Кто от этого страдает? Беда с тангенсом, он не определен, когда косинус равен нулю (происходит деление на ноль).
Таким образом, корни уравнения следующие:
Теперь производим отсев корней на промежутке :
— подходит |
— перебор |
Таким образом, наше уравнение имеет единственный корень на промежутке , и он равен .
Видишь: появление знаменателя (также, как и тангенса, приводит к определенным затруднениям с корнями! Тут нужно быть более внимательным!).
Ну что же, мы с тобой почти закончили разбор тригонометрических уравнений, осталось совсем немного – самостоятельно решить две задачи. Вот они.
- Решите уравнение
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . - Решите уравнение
Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решил? Не очень сложно? Давай сверяться:
- Работаем по формулам приведения:
Подставляем в уравнение:
Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену:
Теперь легко сделать замену:
Ясно, что — посторонний корень, так как уравнение решений не имеет. Тогда:
Ищем нужные нам корни на промежутке
Для : — подходит Для : — подходит |
Для : — выскочил Для : — тем более выскочил |
Здесь замена видна сразу:
Тогда или
или
Отбор корней на промежутке :
— подходит! | — подходит! |
— подходит! | — подходит! |
— много! | — тоже много! |
Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели». Как решать подобные задания мы рассмотрим в статье для продвинутого уровня.
ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ
В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа. Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным . Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями в части С экзаменационной работы. Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку. Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры.
Решить уравнение и найти те корни, которые принадлежат отрезку .
У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение – это все равно, что решить систему
Решим каждое из уравнений:
А теперь второе:
Теперь давай посмотрим на серию:
Ясно, что нам не подходит вариант , так как при этом у нас обнуляется знаменатель (см. на формулу корней второго уравнения)
Если же – то все в порядке, и знаменатель не равен нулю! Тогда корни уравнения следующие: , .
Теперь производим отбор корней, принадлежащих промежутку .
— не подходит | — подходит |
— подходит | — подходит |
перебор | перебор |
Тогда корни следующие:
Видишь, даже появление небольшой помехи в виде знаменателя существенно отразилось на решении уравнения: мы отбросили серию корней, нулящих знаменатель. Еще сложнее может обстоять дело, если тебе попадутся тригонометрические примеры имеющие иррациональность.
Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность:
И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда:
Решение этого неравенства:
Теперь осталось выяснить, не попала ли ненароком часть корней первого уравнения туда, где не выполяется неравенство .
Для этого можно опять воспользоваться таблицей:
: 1″> , но | Нет! |
1,5″> | Да! |
Да! |
Таким образом, у меня «выпал» один из корней! Он получается, если положить . Тогда ответ можно записать в следующем виде:
Видишь, корень требует еще более пристального внимания! Усложняем: пусть теперь у меня под корнем стоит тригонометрическая функция.
Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали.
Теперь второе уравнение:
Теперь самое сложное – выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения:
Число надо понимать как радианы. Так как радиана – это примерно градусов, то радианы – порядка градусов. Это угол второй четверти. Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение:
Оно меньше нуля!
А значит – не является корнем уравнения.
Сравним это число с нулем.
Котангенс – функция убывающая в 1 четверти (чем меньше аргумент, тем больше котангенс). радианы – это примерно градусов. В то же время
sqrt<3>«> , а значит и
0″> ,
Может ли быть еще сложнее? Пожалуйста! Будет труднее, если под корнем по-прежнему тригонометрическая функция, а вторая часть уравнения – снова тригонометрическая функция.
Чем больше тригонометрических примеров, тем лучше, смотри дальше:
– корень не годится, ввиду ограниченности косинуса
В то же время по определению корня:
Надо вспомнить единичную окружность: а именно те четверти, где синус меньше нуля. Какие это четверти? Третья и четвертая. Тогда нас будут интересовать те решения первого уравнения, которые лежат в третьей или четвертой четверти.
Первая серия дает корни, лежащие на пересечении третьей и четвертой четверти. Вторая же серия – ей диаметрально противоположная – и порождает корни, лежащие на границе первой и второй четверти. Поэтому эта серия нам не подходит.
И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью» . Мало того, что у нас снова под корнем тригонометрическая функция, так теперь она еще и в знаменателе!
Ну, ничего не поделаешь – поступаем как и раньше.
Теперь работаем со знаменателем:
Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней:
Если – четное, то имеем:
так как , то все углы вида лежат в четвертой четверти. И снова сакральный вопрос: каков знак синуса в четвертой четверти? Отрицательный. Тогда неравенство
Если же -нечетное , то:
В какой четверти лежит угол ? Это угол второй четверти. Тогда все углы – снова углы второй четверти. Синус там положительный. Как раз то, что надо! Значит, серия:
Точно так же разбираемся со второй серией корней:
Подставляем в наше неравенство:
Если – четное , то
– углы первой четверти. Синус там положительный, значит серия подходит. Теперь если – нечетное , то:
Ну вот, теперь записываем ответ!
Ну вот, это был, пожалуй, наиболее трудоемкий случай. Теперь я предлагаю тебе задачи для самостоятельного решения.
Тренировка
- Решите и найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку .
- Первое уравнение:
или
ОДЗ корня:
Второе уравнение:
Отбор корней, которые принадлежат промежутку
Принадлежит? | |
displaystyle pm frac да |
|
нет | |
нет |
или
или
Но
Рассмотрим: . Если – четное, то
– не подходит!
Если – нечетное, : – подходит!
Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:
или
Отбор корней на промежутке :
— не подходит | — подходит |
— подходит | — много |
— подходит | много |
или
Так как , то при тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!
Вторая часть:
В то же время по ОДЗ требуется, чтобы
Проверяем найденные в первом уравнении корни:
Если знак :
– углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит!
Если знак :
– угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ:
Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.
Существует два способа решения тригонометрических уравнений:
Первый способ — с использованием формул.
Второй способ — через тригонометрическую окружность.
Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.
P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это — не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время.
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье — Купить статью — 299 руб
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника — Купить учебник — 899 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение.
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Статья написана по материалам сайтов: lampa.io, algebra.neznaka.ru, youclever.org.
»